UJI HIPOTESIS STATISTIKA PADA UJUNG BAWAH DISTRIBUSI PROBABILITAS F FISHER-SNEDECOR

Abstract. Some educationists doubt that a statistical test on the lower tail of F distribution is invalid because many statistics literatures using only upper tail test. Since F distribution function needs three parameters, i.e. a pair of degrees of  freedoms and a level of significance, a  complete table for all the parameters is very bulky. Hence, appendices in many books of statistics usually limit the table to only a pair of levels of significance, 0.05 and 0.01, for the upper tail and avoid the direct use of lower tails. Despite this limitation, equipped with a table containing both upper and lower tails, direct statistical test on the lower tail of F distribution is, however, equally valid.

Pendahuluan

          Di dalam banyak buku statistika terapan, pada umumnya, uji hipotesis melalui distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor dilakukan pada ujung atas. Karena itu, timbul keraguan pada sejumlah pemakai statistika terapan tentang apakah uji hipotesis demikian boleh dilakukan juga pada ujung bawah. Hal ini layak kita simak dan mereka berkenaan dengan dua pertanyaan utama.

1. Dapatkah uji hipotesis statistika melalui distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor dilakukan pada ujung bawah?
2. Mengapa banyak buku statistika terapan melakukannya pada ujung atas?

Pembahasan mengenai kedua pertanyaan ini bermanfaat bagi kita, setidak-tidaknya, bagi mereka yang memiliki keraguan itu.

Ujung Bawah dan Ujung Atas

          Sebagai gambaran tentang uji hipotesis statistika ujung bawah dan ujung atas pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor, di sini, ditampilkan dua contoh yakni contoh 1 dan contoh 2. Mereka bersama-sama menguji hal yang sama, kecuali contoh 1 mengujinya melalui ujung atas sedangkan contoh 2 mengujinya melalui ujung bawah.

          Contoh 1. Kita ingin menguji hipotesis tentang apakah variansi populasi X lebih besar dari variansi populasi Y. Misalkan pengujian ini menggunakan sampel acak dengan ukuran sampel n_X = 31 dan n_Y = 41 yang menghasilkan variansi sampel s²_X = 5 dan s²_Y = 2. Uji hipotesis ini dilakukan pada taraf signifikansi α = 0,05. Dalam hal ini, hipotesis statistika adalah

                                                            

Dari variansi sampel diperoleh

                                                          

Selanjutnya dari tabel fungsi ditribusi pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor untuk n_X = n_X – 1 = 30, n_Y = n_Y – 1 = 40, dan α = 0,05 kita temukan F_{(0,95)(30)(40)} = 1,74 sehingga kriteria pengujian menjadi

                                                Tolak H₀ jika F > 1,740

                                                Terima H₀ jika F£ 1,740

Dan dalam hal ini, kita menolak H₀.

          Contoh 2. Kasus pada contoh 1 ingin kita uji melalui hipotesis statistika

                                                            

Dari variansi sampel diperoleh

                                                           

Selanjutnya dari tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor kita temukan F_{(0,05)(40)(30)} = 0,537 sehingga kriteria pengujian menjadi

                                                Tolak H₀ jika F < 0,537

                                                Terima H₀ jika F ≥ 0,537

Dalam hal ini, kita menolak H₀.

          Pertanyaan di atas dapat kita jabarkan menjadi apakah contoh 2 adalah sahih karena menggunakan pengujian ujung bawah?

Pembahasan dan Pertimbangan

          Dari uraian di atas tampak bahwa tidak ada alasan untuk menyatakan bahwa contoh 2 tidak dapat digunakan. Dengan kata lain, contoh 2 dapat juga kita gunakan. Pertimbangan ini ditunjang oleh sejumlah buku statistika terapan. Dari buku karangan Irwin Miller dan John E. Freund yang berjudul Probability and Statistics for Engineers, second edition (1977, halaman 235-236) kita temukan uraian sebagai berikut

          ... the critical region for testing H₀ against the alternative hypothesis s²₁ > s²₂ is F > F_α ... the critical region for testing H₀ against alternative hypothesis s²₁ < s²₂ is F < F_1–α .... For the two sided alternative s²₁ ≠ s²₂  the critical region is F < F_1–½α or F > F_½α.

                William Mendenhall di dalam bukunya Introduction to Probability and Statistics, third edition (1971, halaman 245) menyatakan sebagai berikut,

          If the population with the larger sample variance is designated as population II, then s²₂ < s²₁ and we will be concerned with rejection in the lower tail of the F distribution.

         

          Tidak jarang kita temukan bahwa uji hipotesis statistika melalui distrubusi probabilitas F Fisher-Snedecor dilaksanakan pada dua ujung. Hal ini terjadi pada hipotesis s²_X ¹ s²_Y. Kennedy dan Neville (1976, halaman 232) mengatakan bahwa “pengujian adalah dua-sisi.” Winer (1971, halaman 39) juga menyatakan demikian melalui diagram dengan mengarsir ujung bawah dan ujung atas distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor masing-masing sebesar a/2.  Glass dan Stanley (1970, halaman 305) mengemukakan pada suatu contoh bahwa “karena F = 0,09 jatuh di bawah nilai kritis bawah, H₀: s²₁ = s²₂ ditolak pada tingkat signifikansi 0,05.” Hinkle et  al. (1979, halaman 231) mengatakan adanya “ketentuan nilai kritis dari statistik uji ketika F < 1” menggunakan pengujian ujung bawah.

                Kalau demikian halnya mengapa pula banyak buku statistika hanya menggunakan ujung atas? Kesemuanya ini terjadi gara-gara tabel F yang mereka gunakan. Fungsi distribusi pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor menggunakan tiga parameter yakni ν_X, ν_Y, dan a. Kalau kita menggunakan berbagai nilai untuk semua parameter maka tabel menjadi besar sekali untuk diletakkan pada lampiran buku statistika. Sehubungan dengan itu ada dua cara yang ditempuh di dalam sejumlah buku statistika. Cara pertama adalah menjungkirbalikkan variansi X bagi variansi Y menjadi variansi Y bagi variansi X sehingga uji ujung bawah berubah menjadi uji ujung atas. Cara kedua adalah menghitung nilai kritis ujung bawah dari nilai kritis ujung atas melalui rumus tertentu. Hal ini dapat kita baca pada sejumlah buku statistika.

          Miller dan Freund (1977, halaman 236) mengemukakan bahwa uji ujung bawah “menyebabkan kesulitan karena Tabel 6 hanya mengandung nilai yang bersangkutan dengan ujung-kanan dari a =0,05 and a = 0,01. Akibatnya, kita menggunakan nilai jungkirbalik dari statistik uji yang asli dan memanfaatkan hubungan” di antara ujung bawah dan atas itu. Keeping (1962, halaman 196) juga menggunakan cara yang sama dengan mengatakan bahwa “mencari titik 5% bawah, katakan saja, untuk n₁ dan n₂ yang diberikan, kita menggunakan nilai jungkir balik dari 5% atas, setelah mempertukarkan n₁ dan n₂. Hal ini menyebabkan kita tidak lagi memerlukan tabel untuk dua ujung dari distribusi.”

          Freund (1979, halaman 293) menyatakan bahwa “satu kesulitan dengan distribusi ini adalah kebanyakan tabel hanya memberikan nilai dari F_0,05 … dan F_0,01 sehingga kita hanya dapat bekerja dengan ujung kanan dari distribusi,” yang dilakukan melalui suatu kiat tertentu.  Mendenhall (1971, halaman 245) juga mengatakan bahwa nilai kritis pada ujung bawah jelas hilang [dari tabel F]. Winer (1971, halaman 39) juga mengakui bahwa “kebanyakan tabel distribusi F hanya memberikan nilai untuk ujung kanan.” Namun, Winer (1971, halaman 39) juga mengemukakan bahwa ada hubungan di antara nilai ujung bawah dan nilai ujung atas sehingga nilai pada ujung bawah dapat dihitung dari nilai pada ujung atas.

          Glass dan Stanley (1970, halaman 304) menyatakan bahwa “titik persentil atas pada distribusi-F dapat dibaca dari tabel di Lampiran A … titik persentil bawah terkait dengan persentil atas  …” sehingga dalam hal ini buku itu menunjukkan jalan untuk menemukan nilai ujung bawah melalui nilai ujung atas yang ada di dalam tabel. Kenny dan Keeping (1974, halaman 188) menyatakan bahwa “karena tabel lengkap, dengan P untuk semua nilai yang pantas dari F, n₁ dan n₂, akan sangat besar (bulky), maka tabel hanya memberikan nilai F terhadap dua nilai pilihan pada F, yakni 0,05 dan 0,01.” Keeping (1962, halaman 194-195) juga mengatakan bahwa “suatu tabel lengkap dari integrasi probabilitas F akan cukup besar (bulky), karena mereka adalah sebagai tabel dengan entri ganda-tiga [a, n_X, dan n_Y].”

          Hinkle et al. (1979, halaman 231) mengatakan bahwa nilai kritis ujung bawah “agak lebih sulit karena tidak dapat ditentukan langsung dari tabel” karena tabel hanya mengenal nilai ujung atas sehingga kita memerlukan jungkir balik dari nilai ujung atas yang ada di dalam tabel. Hal yang sama dikeluhkan oleh Cryer dan Miller (1994, halaman 494)  bahwa “tabel distribusi F cukup rumit karena mereka harus menunjukkan distribusi untuk setiap kombinasi yang mungkin dari derajat kebebasan pada pembilang dan penyebut.”

Kesimpulan

          Dari uraian di atas tampak bahwa uji hipotesis statistika melalui distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor dapat dilakukan pada ujung bawah. Namun ada masalah di sejumlah buku statistika. Tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor di dalam lampiran buku statistika hanya mencantumkan nilai ujung atas dengan membatasi taraf signifikansi pada a = 0,05 dan a = 0,01. Karena itu, diperlukan teknik manupulasi tertentu agar uji ujung bawah dapat dilaksanakan dengan menggunakan tabel dengan nilai ujung atas.

          Kita dapat saja memiliki tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor yang mencantumkan nilai kritis untuk ujung atas dan ujung bawah. Dalam hal ini, pengujian pada ujung bawah dapat dilakukan langsung dengan melihat ke tabel itu. Sehubungan dengan itu, tidak ada alasan bagi kita untuk terus meragukan kesahihan pengujian hipotesis statistika pada ujung bawah distribusi probabilias F Fisher-Snedecor. Di dalam berbagai buku statistika, pengujian demikian dinyatakan sahih.

          Karena itu kita perlu mencari tabel fungsi distribusi F Fisher-Snedecor yang agak lengkap yakni yang memiliki nilai ujung atas dan ujung bawah sehingga kita tidak bergantung kepada tabel pada lampiran sejumlah buku statisika yang tidak memiliki nilai untuk ujung bawah.

Referensi

Cryer, Jonathan D. and Robert B. Miller. Statistics for Business: Data Analysis and Modeling. Second edition. Belmont, CA: Duxbury Press, 1994.

Freund, John E. Modern Elementary Statistics. Fifth edition. New Delhi: Prentice-Hall of India Private Limited, 1979

Glass, Gene V. and Julian C. Stanley. Statistical Methods in Education and Psychology. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., 1970.

Hinkle, Dennis E., William Wiersma, and Stephen J. Jurs. Applied Statistics for the Behavioral Sciences. Chicago: Rand McNally College Publishing Company, 1979.

Keeping, E.S. Introduction to Statistical Inference. New York: Van Nostrand Reinhold Company, 1962.

Kennedy, John B. and Adam M. Neville. Basic Statistical Methods for Engineers and Scientists. Second edition. New York: Harper and Row, Publishers, 1976.

Kenny, J.F. and E.S. Keeping. Mathematics of Statistics. Part One. Third edition. New Delhi: Affiliated East-West Press Pvt. Ltd., 1974.

Mendenhall, William. Introduction to Probability and Statistics. Third edition. Belmont, CA: Duxbury Press, 1971.

Miller, Irwin and John E. Freund. Probability and Statistics for Engineers. Second edition. New Delhi: Prentice-Hall of India Private Limited, 1977.

Winer, B.J. Statistical Principles in Experimental Design. Second edition. Tokyo: McGraw-Hill Kogakusha, Ltd., 1971.