MAKALAH ANALISA VEKTOR NABLA

BAB I

PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Nabla (atau del) adalah salah satu operator yang digunakan dalam kalkulus vektor. Dinotasikan secara matematika sebagai .Operator nabla juga merupakan simbol yang bermamfaat untuk mendefenisikan tiga (3) buah besaran berikut yang muncul dalam pemakaian praktis yang dikenal sebagai gradien, divergensi, dan curl.

Makalah ini membahas beberapa hal sebagai persiapan bagi kita dalam proses penyelesaian persoalan analisa vektor. Urutan bahasan adalah : definisi operator nabla dan gradien fungsi vektor.

B. Rumusan Masalah

1. Bagamana menggunakan gradien fungsi vektor yang mengandung nabla(Ñ) dalam ruang   dimensi 3?

2. Apa saja sifat yang terkandung dalam gradien fungsi vektor yang menggandung nabla(Ñ)?

C. Tujuan Penulisan Makalah

1. Untuk memecahkan masalah gradien fungsi vektor yang mengandung nabla(Ñ).

2. Untuk mengetahui sifat-sifat gradien fungsi vektor yang mengandung nabla (Ñ).

BAB II

    PEMBAHASAN

A.   Operator Nabla atau Del (Ñ)

Operator del merupakan operator pada diferensial vektor yang disimbolkan dengan Ñ (nabla), yang didefinisikan dalam bentuk turunan parsial, yaitu:

Ñ ₌    i +  j +  k

B.     Gradien

            Misal f(x, y, z) terdefinisi dan diferensiabel pada setiap titik (x, y, z) dalam suatu daerah tertentu dari ruang (f medan skalar). Gradien f ditulis: Ñf atau grad f, didefinisikan:

Ñf ₌(    i +  j +  k) f

Ñf ₌    i +  j +  k

Ø  Ñf adalah sebuah vektor yg tegak lurus pada permukaan f(x, y, z) = c, dimana c sebuah konstanta.

Ø  Komponen Ñf dalam arah vektor satuan a adalah Ñf.a yaitu laju perubahan f pada (x, y, z) dalam arah a.

C.    RUMUS-RUMUS YANG MENGANDUNG Ñ

Jika A dan B adalah fungsi-fungsi vektor yg diferensiabel dan f dan y fungsi-fungsi skalar dari kedudukan (x, y, z) yg diferensiabel maka:

1. Ñ(f + y) = Ñf + Ñy   atau

            grad(f+y)= grad f + grad y

2. Ñ.(A + B) = Ñ.A + Ñ.B          atau

            div (A+B)= div A + div B

3. Ñx(A + B) = Ñx A + Ñx B     atau

            curl (A+B) = curl A + curl B

4. Ñ.(fA) = (Ñf). A + f(Ñ.A)
5. Ñx(fA) = (Ñf)x A + f(ÑxA)
6. Ñ.(AxB) = B.(Ñx A) – A.(ÑxB)
7. Ñx(AxB) = (B.Ñ)A – B(Ñ.A)-(A.Ñ)B+A(Ñ.B)
8. Ñ(A.B) = (B.Ñ)A + (A.Ñ)B+B x(ÑxA)+A x(ÑxB)
9. Ñ.(Ñf) = Ѳf= ¶²f/¶x² + ¶²f/¶y² + ¶²f/¶z²

                dimana Ѳ= ¶²/¶x²+ ¶²/¶y²+ ¶²/¶z² disebut operator laplace

10. Ñx(Ñf) = 0      curl dari gradien f adalah 0
11. Ñ.(Ñ x A)= 0   divergensi dari curl A adalah 0.
12. Ñx(Ñ x A)=Ñ(Ñ.A)-ѲA

Contoh:

1. Jika f(x, y, z) = 3x²y – y³z², carilah grad f (Ñf) pada titik (1, -2, -1).

Penyelesaian :

Ñf  =  ( i +  j +  k) (3x²y – y³z²)

       = i  (3x²y – y³z²) + j (3x²y – y³z²) + k (3x²y – y³z²)

       = 6xy i + (3x²  - 3y²z²) j – 2y³z k

       = 6(1)(-2) i + ( 3(1)²-3(-2)²(-1)² ) j – 2(-2)³(-1) k

       = -12 i -9 j -16 k

2. Carilah normal satuan terhadap permukaan x²y + 2xz = 4 pada titik (2, -2, 3).

Penyelesaian :

Ñ (x²y + 2xz) = (2xy + 2z) i + x² j + 2x k = -2i + 4j + 4k

Normal satuan terhadap permukaan di atas =  =  +  +  .

 Normal satuan yang lain  -   -  . yang memiliki arah berlawanan dengan yang diatas.

3.      Carilah turunan berarah dari f = x²yz + 4xz² pada (1,-2,-1) dalam arah 2i - j- 2k.

Penyelesaian :

Ñf = Ñ (x²yz + 4xz²)

      = ( 2xyz + 4z²) i + x²z j + (x²y + 8xz ) k

      = 8i - j- 10k

Vektor satuan dalam arah 2i - j- 2k adalah

            a =  

               =  -  -

Maka turunan berarah yang dikehendaki adalah

Ñf.a = (8 i – j – 10 k) . ( -  -  )

         =  +  +

         =

Karena hasil diatas berharga positif, ini berarti f bertambah dalam arah positif.

DAFTAR PUSTAKA

Soemartojo Noeniek . 1992. Analisa Vektor edisi keempat . Jakarta : Erlangga

Wospakrik Hans J . 1985. Analisi Vektor .Jakarta : Erlangga

http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus vektor       

Selamat yah mba, ini kode voucher pulsanya: 5051 0749 4618 5788 untuk melakukan pengisian pulsa, tekan: *133*kode voucher#